Chọn C

Ta có  y ' = 3 x 2 - 6 m x + 3 ( m 2 - 1 )

Hàm số (1) có cực trị thì PT y ' = 0  có 2 nghiệm phân biệt

⇔ x 2 - 2 m x + m 2 - 1 = 0  có 2 nhiệm phân biệt

Khi đó, điểm cực đại A ( m - 1 ; 2 - 2 m ) và điểm cực tiểu  B ( m + 1 ; - 2 m )

Ta có  O A = 2 O B ⇔ m 2 + 6 m + 1 = 0

Chọn A

 là tam thức bậc hai có ∆' = m2.

Do đó: y có cực đại cực tiểu ⇔ y’ có hai nghiệm phân biệt

⇔ g(x) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' > 0 ⇔ m ≠ 0. (1)

Khi đó, y’ có các nghiệm là: 1 ± m

→ tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi :

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ  m = ± 1 2  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D

Ta có y ' = 3 x 2 - 6 m x + m - 1

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y ' = 0  có hai nghiệm phân biệt

Điều này tương đương

Hai điểm cực trị có hoành độ dương

Vậy các giá trị cần tìm của m là m >1

Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$

$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$

Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$

Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$

$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu

$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại 

$BO=\sqrt{2}AO$

$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$

$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$

$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$

+ Đạo hàm y’ =  -3x²+ 6x+ 3( m²-1) = -3( x²- 2x-m²+1).

Đặt g( x) = x²- 2x-m²+1 là tam thức bậc hai có ∆ ' = m 2 .

+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x)  =0  có hai nghiệm phân biệt

  ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ m ≠ 0 .                   (1)

+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1±m .

 Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m³) và B( 1+m ; -2+ 2m³).

Ta có: 

O A → ( 1 - m ; - 2 - 2 m 3 ) ⇒ O A 2 = ( 1 - m ) 2 + 4 ( 1 + m 3 ) 2 . O B → ( 1 + m ; - 2 + 2 m 3 ) ⇒ O B 2 = ( 1 + m ) 2 + 4 ( 1 - m 3 ) 2 .

Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA= O B  hay  OA²= OB²

( 1 - m ) 2 + 4 ( 1 + m 3 ) 2 = ( 1 + m ) 2 + 4 ( 1 - m 3 ) 2 ⇔ - 4 m + 16 m 3 = 0

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ m = ± 1 2   thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu  bài toán.

Chọn  A.

Đáp án C

Đạo hàm

y ' = 3 x 2 − 6 m x = 3 x x − 2 m ;     y ' = 0 ⇔ x = 0 x = 2 m

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B <=> Phương trình y ' = 0  có hai nghiệm phân biệt  x 1 , x 2 ⇔ 2 m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0   .

Giả sử A 0 ; 3 m 2  và B 2 m ; 3 m 2 − 4 m 3 . Phương trình đường thẳng AB là:

x − 0 2 m − 0 = y − 3 m 2 3 m 2 − 4 m 3 − 3 m 2 ⇔ x = y − 3 m 2 − 2 m 2 ⇔ 2 m 2 x + y − 3 m 2 = 0

Lại có

A B = 2 m − 0 2 + 3 m 2 − 4 m 3 − 3 m 2 2 = 4 m 2 + 16 m 6 = 2 m 1 + 4 m 4

Suy ra

S Δ O A B = 1 2 A B . d O ; A B = 1 2 . 2 m . 1 + 4 m 4 . − 3 m 2 4 m 4 + 1 = 3 m . m 2

(đvdt).

Yêu cầu bài toán ⇔ S Δ O A B = 24 ⇔ 3 m 3 = 24 ⇔ m = 2 ⇔ m = ± 2  (thỏa mãn).